Построение таблиц истинности
В прошлом разделе мы строили таблицы истинности для логических операторов. Чаще приходится строить таблицы истинности для более длинных логических выражений. F=(a∧b)∨( b∧c), чтобы построить таблицу истинности для данной логической функции сначала определим порядок действий для данной функции.
Далее определим количество переменных в данной логической функции и записываем их в заголовок таблицы, а затем перебираем все возможные комбинации нулей и единиц для данного набора переменных в последующих строках таблицы.
|
a |
b |
c |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Чтобы перебрать все возможные комбинации нулей и единиц ничего не пропустив, можно каждую строку представить в виде двоичного числа (см. раздел системы счисления). Первая строка — это ноль (с двумя незначащими нулями), а далее мы прибавляем к этому числу один пока все разряды не станут равны одному.
Далее добавляем столбец справа с первым действием в нашей функции и заполняем его.
|
a |
b |
c |
a∧b |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
То же самое делаем со вторым действием.
|
a |
b |
c |
a∧b |
b∧c |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Третье действие – это знак ∨ между двумя скобками, которые уже есть в таблице истинности.
|
a |
b |
c |
a∧b |
b∧c |
F=(a∧b)∨(b∧c) |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
В том случае, если в выражении есть отрицание, то сначала мы строим столбцы с отрицанием, а далее действуем по аналогии с прошлым случаем. F=(a≡¬ b)⊕(b→¬c). Расставим порядок действий и начнем построение таблицы истинности с того, что добавим в нее b с отрицанием и c с отрицанием.
|
a |
b |
c |
¬b |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
a |
b |
c |
¬b |
¬c |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
И далее строим следующие столбцы.
|
a |
b |
c |
¬b |
¬c |
a≡¬b |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
a |
b |
c |
¬b |
¬c |
a≡¬b |
b→¬c |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
a |
b |
c |
¬b |
¬c |
a≡¬b |
b→¬c |
F |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
В последнем столбце записана буква F, т.к. это более компактно и мы знаем, что F=(a≡¬b)⊕(b→¬c).