Демоверсия 2023
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы
делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 129. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 129 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 128.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Если найдено несколько значений S, в ответе запишите минимальное из них.
Если изначально было S камней, то первым ходом Петя мог сделать S+1, либо 2*S. Далее, допустим, что Ваня сделал x, либо y, тогда дальнейшее развитие игры представлено ниже.
Рассмотрим ветку с X. Ваня мог победить первым ходом, т.е. X≥129, либо должен выполниться следующий ряд условий x+1<129; 2x<129; 2(x+1)≥129; 4x≥129.
Аналогичная ситуация будет с Y. Т.к. X это то, что получилось после хода Вани в ответ на ход Пети +1, то x=S+2, либо X=2S+2.
Y же это то, что получилось после хода Вани, в ответ на ход Пети *2, следовательно Y=2S+1, либо Y=4S.
Т.к. выиграть нужно и с X, и с Y, то необходимо найти решения для следующей системы.
И последний момент, который необходимо учесть - это то, что Ваня не может гарантированно победить своим первым ходом. Т.е. числа, которые мы найдем при решении следующей системы, необходимо выбросить.
Т.о. образом нам подходит только число 62.
Ответ: 62.