Основные логические операции
Алгебра логики – раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями.
Допустим у нас есть высказывание «Этот прибор работает». И обратное ему «Этот прибор не работает». Теперь допустим, что данное высказывание мы обозначаем какой-то буквой, записываем его в какую-то переменную a=«Этот прибор работает». И говорим, что когда прибор работает a=1, а когда прибор не работает a=0. Мы ввели логическую переменную a. Над логическими переменными можно проводить различные операции, например, отрицание (инверсия). Записываться отрицание может различными способами, например, ¬a или . И ¬a, и в нашем случае соответствуют высказыванию «Этот прибор не работает». То есть, когда a=0, то ¬a=1, а когда a=1, то ¬a=0. Запишем это в виде таблицы.
|
a |
¬a |
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
То, что мы только что записали называется таблицей истинности.
Помимо отрицания существуют и другие операции, но они работают с двумя высказываниями. Например, добавим высказывание b=«Этот прибор красный». Тогда очевидно, что мы можем сказать: «Этот прибор работает и этот прибор красный». Получается aИb. Данная операция называется логическим умножением или конъюнкцией. На языке алгебры логики может использоваться значок умножения, либо ∧. Запишем таблицу истинности для конъюнкции.
|
a |
b |
a∧b |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
То есть a∧b будет истинным только в случае, когда и a истинно, и b истинно. Фраза «Этот прибор работает и этот прибор красный» будет истинна только когда истинна, и фраза «Этот прибор работает», и фраза «Этот прибор красный».
Следующая операция, которую мы рассмотрим, – это операция логическое сложение или дизъюнкция. «Этот прибор работает или этот прибор красный». aИЛИb. Обозначается знаком плюс, либо ∨. Запишем таблицу истинности для дизъюнкции.
|
a |
b |
a∨b |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
То есть a∨b истинно в том случае, когда истинна хотя бы одна из переменных a и b. Фраза «Этот прибор работает или этот прибор красный» будет истинна, когда истинна хотя бы одна из фраз «Этот прибор работает» и «Этот прибор красный».
Следующая операция исключающее или. «Либо этот прибор работает, либо этот прибор красный». Обозначается знаком ⊕. Запишем таблицу истинности для исключающего или.
|
a |
b |
a⊕b |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
То есть a⊕b истинно в том случае, когда истинна ровно одна переменная из двух. Прибор должен быть либо красным, либо рабочим.
Следующая операция эквивалентность. Эквивалентность обозначается, либо значком ↔, либо ≡, либо ~. Построим таблицу истинности для эквивалентности.
|
a |
b |
a≡b |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
То есть a≡b истинно тогда, когда значения a и b совпадают. Прибор должен быть либо и красным, и рабочим, либо ни красным, ни рабочим. «Прибор красный эквивалентно тому, что прибор рабочий»
Следующая операция логическое следование или импликация. «Если этот прибор рабочий, то этот прибор красный». Обозначается знаком →. Построим таблицу истинности для импликации.
|
a |
b |
a→b |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
То есть a→b ложно только тогда, когда первая переменная истинна, а вторая ложна. Фраза «Если этот прибор рабочий, то этот прибор красный» ложна только в случае, если прибор рабочий и при этом не красный. Более точно эту фразу можно сформулировать как «Если этот прибор рабочий, то он должен быть красным».