Демоверсия 2021
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 77. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 77 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было семь камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 69.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может
встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
Для любого натурального числа x истинно выражение \( 2x \geq x+1 \). Т.к. от нас требуется, чтобы S было минимально и при этом за два хода суммарное количество камней в двух кучах было не меньше 77, то можно пренебречь ходами, добавляющими в кучу один камень, т.к. таких ходов потребуется не меньше, чем ходов увеличивающих кол-во камней в два раза, для достижения того же самого результата при одинаковых S. С учетом этого возможные развития событий выглядят следующим образом.
Т.к. нам достаточно победы в одном из трех случаев, решим следующую совокупность неравенств.
Минимальное целое число, которое удовлетворяет этой совокупности - это число 18, т.е. ответ точно не меньше 18. Подставим число 18 и проверим подходит ли оно.
Число 18 подходит и оно минимальное из возможных.
Ответ: 18.