Демоверсия 2021
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 77. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 77 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было семь камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 69.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может
встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Возьмем ветку, начинающуюся с (7;31), из предыдущего задания.
Используем ее как позицию после первого хода Пети, и распишем другие варианты развития событий для этой ситуации.
Число 30 подходит, в качестве ответа, попробуем взять число меньше, возьмем 29.
Если Петя сделает пару (8;29), то любой вариант Вани приведет его к проигрышу либо затягиванию игры.
При любом меньшем значении S все варианты ходов которые затягивали игру сейчас, будут ее затягивать и дальше. Что касается победы Пети, чтобы он не победил своим вторым ходом, в случае, когда Ваня умножал значение на 2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие.
Значения от 18 до 29 точно не подойдут. Подставим S равное 17 и распишем возможные варианты развития игрового процесса.
При такой начальной позиции мы попадаем в ситуацию, что Петя может увеличить кол-во камней в первой куче в два раза, и далее либо победить вторым ходом, либо затянуть игру. 17 также не подходит. Дальнейшее уменьшение значения S будет приводить к тому, что Петя будет иметь возможность добавлять один камень в первую кучу и затягивать игровой процесс. Т.о. мы доказали, что число 30 подходит и ни одно значение меньше 30 не подходит. Наименьшее подходящее значение - это число 30.
Ответ: 30.