Демоверсия 2021
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 77. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 77 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было семь камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 69.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может
встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Пусть Петя изначально добавил в кучу один камень, тогда варианты развития игрового процесса выглядят следующим образом.
Каждый из этих вариантов должен в сумме иметь значения меньшие 77. Решим следующую систему неравенств.
Максимальное S при котором Ваня не выиграет своим первым ходом - это число 33. Подставим это число и проверим, может ли выиграть Петя в таком случае.
То есть в том случае, если Ваня сделает пару (8; 34), то Петя не сможет выиграть за один ход, при меньших значений тем более Петя не выиграет, а при больших своим первым ходом выиграет Ваня, следовательно, если Петя будет добавлять один камень во вторую кучу, то победить он не сможет каким бы ни было S.
Попробуем увеличить количество камней во второй куче в два раза и решить аналогичную систему неравенств.
При подстановке числа 17, мы снова получим после первого хода позицию (7;34) из которой Петя гарантированно победить не может.
Рассмотрим вариант при котором Петя в начале добавляет один камень в первую кучу.
Самое большое значение, при котором Ваня не выиграет своим первым ходом - это 34. Подставим данное значение.
Данное значение подходит, один из ответов 34. Теперь попробуем рассмотреть случай когда Петя первым ходом увеличивает количество камней в куче в два раза.
Максимальное S которое нам подходит - это число 31. Подставим его.
Число 31 также идет в ответ. Найденные числа пишем в порядке возрастания.
Ответ: 31; 34.