Текстовые решения некоторых заданий
| Сайт: | Не ждем, а готовимся! |
| Курс: | Информатика ЕГЭ 2025 |
| Книга: | Текстовые решения некоторых заданий |
| Напечатано:: | Гость |
| Дата: | Вторник, 25 августа 2026, 10:16 |
1. Демоверсия 2023
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы
делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 129. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 129 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 128.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
1.1. Аналитическое решение
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы
делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 129. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 129 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 128.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Изначально было S камней. После хода Пети камней могло S+1, либо 2*S. Далее ходит Ваня, и ему необходимо победить, следовательно, ему нужно делать как можно более "сильные" ходы, чтобы победить текущим ходом, значит он сходит 2*(S+1) и 2*2*S.
И для того, чтобы Ваня выиграл после первого хода Пети, необходимо и достаточно, чтобы условие победы не выполнилось после того, как сходил Петя, и при этом выполнилось после того, как сходил Ваня.
Единственное целое S, которое является решением данной системы - это число 64, оно и идет в ответ.
Ответ: 64.
1.2. Программное решение
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы
делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 129. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 129 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 128.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Задумка в следующем, напишем подпрограмму, которая будет возвращать True, когда исход игры удовлетворительный, и False, если игра закончилась слишком рано/победой того кто должен проиграть/слишком затянулась.
#Функция принимает 2 значения
#x - кол-во камней на текущей момент
#n - кол-во прошедших ходов
def f1(x,n):
#Если еще никто не ходил
if(n==0):
#Ходит Петя
#1й вариант добавить 1 камень
v1=f1(x+1,n+1)
#2й вариант увеличить количество камней в 2 раза
v2=f1(x*2,n+1)
#Если Ваня сможет победить как при v1, так и при v2,
#то это удовлетворительный для нас результат
return v1 and v2
#Если только что сходил Петя
elif(n==1):
#Если он выиграл
if(x>=129):
#это неудовлетворительный результат
return False
#Если он не выиграл
else:
#то у Вани те же 2 варианта как сходить
#1й вариант добавить 1 камень
v1=f1(x+1,n+1)
#2й вариант увеличить количество камней в 2 раза
v2=f1(x*2,n+1)
#Если v1 или v2 приводит Ваню к победе
#то это удовлетворительный для нас результат
return v1 or v2
#Если только что сходил Ваня
elif(n==2):
#Если он выиграл
if(x>=129):
#это удовлетворительный результат
return True
#Если он выиграть не смог, то
#игра уже слишком затянулась
else:
#и это неудовлетворительный результат
return False
#Переберем начальное кол-во камней
for S in range(1,129):
#Если при таком кол-ве камней
#в самом начале игры мы получаем
#удовлетворительный результат
if(f1(S,0)):
#То выводим начальное кол-во
#камней при котором это произошло
print(S)
Ответ: 64.
2. Демоверсия 2021
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору)
в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать
игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 77. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию,
в кучах будет 77 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было семь камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 69.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может
встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющ
безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
2.1. Аналитическое решение
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче
в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого
игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 77. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой
в кучах будет 77 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было семь камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 69.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию
игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может
встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него
безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
Для любого натурального числа x истинно выражение \( 2x \geq x+1 \). Т.к. от нас требуется, чтобы S было минимально и при этом за два хода суммарное количество камней в двух кучах было не меньше 77, то можно пренебречь ходами, добавляющими в кучу один камень, т.к. таких ходов потребуется не меньше, чем ходов увеличивающих кол-во камней в два раза, для достижения того же самого результата при одинаковых S. С учетом этого возможные развития событий выглядят следующим образом.
Т.к. нам достаточно победы в одном из трех случаев, решим следующую совокупность неравенств.
Минимальное целое число, которое удовлетворяет этой совокупности - это число 18, т.е. ответ точно не меньше 18. Подставим число 18 и проверим подходит ли оно.
Число 18 подходит и оно минимальное из возможных.
Ответ: 18.
2.2. Программное решение
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче
в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого
игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 77. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой
в кучах будет 77 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было семь камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 69.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию
игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может
встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него
безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
Задумка в следующем, напишем подпрограмму, которая будет возвращать True, когда исход игры удовлетворительный, и False, если игра закончилась слишком рано/победой того кто должен проиграть/слишком затянулась.
#Функция принимает 3 значения
#x - кол-во камней в первой куче на текущий момент
#y - кол-во камней во второй куче на текущий момент
#n - кол-во прошедших ходов
def f1(x,y,n):
#Если еще никто не ходил
if(n==0):
#Ходит Петя
#1й вариант добавить 1 камень в первую кучу
v1=f1(x+1,y,n+1)
#2й вариант увеличить количество
#камней в первой куче в 2 раза
v2=f1(x*2,y,n+1)
#3й вариант добавить 1 камень в первую кучу
v3=f1(x,y+1,n+1)
#4й вариант увеличить количество
#камней во второй куче в 2 раза
v4=f1(x,y*2,n+1)
#Если Ваня сможет победить хотя бы при одном
#из 4х вариантов то именно на этот неудачный
#для Пети вариант мы и будем рассчитывать
return v1 or v2 or v3 or v4
#Если только что сходил Петя
elif(n==1):
#Если он выиграл
if(x+y>=77):
#это неудовлетворительный результат
return False
#Если он не выиграл
else:
#то у Вани те же 4 варианта как сходить
#1й вариант добавить 1 камень в первую кучу
v1=f1(x+1,y,n+1)
#2й вариант увеличить количество
#камней в первой куче в 2 раза
v2=f1(x*2,y,n+1)
#3й вариант добавить 1 камень в первую кучу
v3=f1(x,y+1,n+1)
#4й вариант увеличить количество
#камней во второй куче в 2 раза
v4=f1(x,y*2,n+1)
#Если 1 из 4 вариантов приводит Ваню к победе
#то это удовлетворительный для нас результат
return v1 or v2 or v3 or v4
#Если только что сходил Ваня
elif(n==2):
#Если он выиграл
if(x+y>=77):
#это удовлетворительный результат
return True
#Если он выиграть не смог, то
#игра уже слишком затянулась
else:
#и это неудовлетворительный результат
return False
#Переберем начальное кол-во камней
for S in range(1,70):
#Если при таком кол-ве камней
#в самом начале игры мы получаем
#удовлетворительный результат
if(f1(7,S,0)):
#То выводим начальное кол-во
#камней при котором это произошло
print(S)
В ответ пишем минимальное из выведенных чисел.
Ответ: 18.